Випадкові величини та їх типи

Передбачення чи здогадка? Задача, яка розкриває правду

Уявіть: ви керуєте інтернет-магазином. Завтра понеділок, 9 ранку. Скільки замовлень ви отримаєте до обіду?

Спробуймо відповісти. Ви відкриваєте статистику за останні 10 понеділків:

Замовлень до обіду: 23, 31, 19, 28, 35, 22, 27, 30, 24, 29

Який буде результат завтра? Не знаєте точно. Можливо, 25, можливо 32, можливо навіть 40 (якщо хтось запустить вірусну рекламу). Ви можете здогадатися — «десь біля 27», але гарантувати не можете.

Тепер інше питання: якщо завтра буде 28 замовлень, а доставка одного коштує 50 грн, скільки ви витратите на доставку?

Відповідь: рівно 1400 грн. Тут немає невизначеності — ви просто множите 28 × 50.

Бачите різницю? У першому випадку ми маємо справу з випадковою величиною (кількість замовлень), у другому — з детермінованою (вартість доставки, якщо кількість відома).

Аналогія: детермінована величина — це як рецепт. Якщо ви поклали 200 г борошна та 3 яйця, результат завжди однаковий. Випадкова величина — це як погода завтра. Ви бачите прогноз «+18°C», але насправді може бути +15°C або +20°C. Ви не контролюєте результат повністю — він залежить від безлічі факторів.

Машинне навчання працює саме з випадковими величинами. Ми ніколи не знаємо напевно, чи клієнт купить товар, чи пацієнт хворий, чи ціна акції зросте. Але ми можемо оцінити ймовірність на основі даних минулого. Саме тому розуміння випадкових величин — це фундамент для ML.

Детерміновані та випадкові величини

Детерміновані величини

Детермінована величина (deterministic variable) — це величина, значення якої можна точно обчислити або передбачити за формулою чи правилом.

Приклади:

• Площа прямокутника зі сторонами 5 см і 10 см: завжди 50 см²
• Ціна 3 кавових зерен по 120 грн за кг: завжди 360 грн
• Кількість секунд у 5 хвилинах: завжди 300
• Відстань між Києвом та Львовом автодорогою: приблизно 540 км (фіксована)

Детерміновані величини підкоряються жорстким правилам. Якщо ви знаєте вхідні дані, ви знаєте результат. Ніяких сюрпризів.

Випадкові величини

Випадкова величина (random variable) — це величина, значення якої визначається результатом випадкового експерименту або процесу і не може бути точно передбачене заздалегідь.

Приклади:

• Кількість орлів при 10 підкиданнях монети
• Зріст випадково обраної людини на вулиці
• Час очікування автобуса на зупинці
• Кількість лайків під вашим постом у соцмережі
• Температура повітря завтра о 15:00

Випадкові величини не означають «хаос» або «повна невизначеність». Вони мають закономірності — одні значення трапляються частіше, інші рідше. Ці закономірності описуються розподілами, про які ми поговоримо в наступних статтях.

Порівняльна таблиця

Дискретні випадкові величини

Дискретна випадкова величина (discrete random variable) — це випадкова величина, яка може набувати лише окремих, відокремлених значень. Зазвичай це цілі числа або значення з фіксованого списку.

Ключова ознака

Між можливими значеннями дискретної величини існують «пропуски» — ви не можете отримати проміжне значення. Наприклад, якщо ви кидаєте кубик, результат може бути 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Але не 2.5 або 3.7.

Приклади дискретних випадкових величин

1. Результат кидка кубика: значення від 1 до 6 (цілі числа)
2. Кількість клієнтів у магазині за день: 0, 1, 2, 3, ... (не буває 17.5 клієнтів)
3. Кількість помилок у коді: 0, 1, 2, 3, ... (цілі числа)
4. Оцінка студента на іспиті за 12-бальною шкалою: 1, 2, 3, ..., 12
5. Категорія товару: «Електроніка», «Одяг», «Продукти» (обмежена множина варіантів)

Простір можливих значень

Для дискретної випадкової величини простір можливих значень (sample space) — це множина всіх значень, які вона може набути.

Приклади:

• Кидок монети: {Орел, Решка} або {0, 1}
• Кидок кубика: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Кількість дітей у сім'ї: {0, 1, 2, 3, 4, ...} (теоретично нескінченна, але дискретна)

Приклад: симуляція кидка кубика з NumPy

Давайте змоделюємо 20 кидків звичайного шестигранного кубика:

import numpy as np

# Створюємо генератор із фіксованим seed для відтворюваності результатів
rng = np.random.default_rng(seed=42)

# Генеруємо 20 кидків кубика (цілі числа від 1 до 6 включно)
rolls = rng.integers(low=1, high=7, size=20)
print("Результати 20 кидків кубика:")
print(rolls)

Результати 20 кидків кубика:
[6 4 1 4 4 1 6 1 3 3 3 2 1 2 5 5 3 6 1 1]

# Порахуємо, скільки разів випала кожна грань
unique, counts = np.unique(rolls, return_counts=True)
for face, count in zip(unique, counts):
    print(f"Грань {face}: {count} разів ({count/20*100:.1f}%)")

Грань 1: 6 разів (30.0%)
Грань 2: 2 рази (10.0%)
Грань 3: 4 рази (20.0%)
Грань 4: 3 рази (15.0%)
Грань 5: 2 рази (10.0%)
Грань 6: 3 рази (15.0%)

Бачите? Кожен результат — ціле число. Ви не побачите 3.5 або 4.2. Це класична дискретна випадкова величина.

Неперервні випадкові величини

Неперервна випадкова величина (continuous random variable) — це випадкова величина, яка може набувати будь-яких значень у певному діапазоні. Між двома будь-якими значеннями завжди можна знайти ще одне проміжне значення.

Ключова ознака

Неперервні величини не мають «пропусків» між можливими значеннями. Якщо зріст людини може бути 170 см і 171 см, то він також може бути 170.5 см, 170.25 см, 170.125 см і так далі, до нескінченності. Обмеження накладає лише точність вимірювального приладу, а не сама величина.

Приклади неперервних випадкових величин

1. Зріст людини: 165.3 см, 178.92 см, ... (будь-яке додатне дійсне число в розумних межах)
2. Температура повітря: 18.7°C, 22.35°C, ... (може бути будь-яким дробовим числом)
3. Час виконання запиту до сервера: 0.043 секунди, 1.259 секунди, ...
4. Вага товару: 2.456 кг, 10.003 кг, ...
5. Відстань від точки A до точки B: 3.14159 км (будь-яке додатне число)

Філософська тонкість: ідеальна vs реальна неперервність

У математиці неперервна величина теоретично може набувати будь-якого значення з нескінченною точністю. У реальному світі ми завжди маємо обмеження:

• Зріст вимірюється з точністю до міліметра (або сантиметра)
• Ваги показують 2–3 знаки після коми
• Час у комп'ютерах дискретний (наносекунди, мікросекунди)

Але концептуально ці величини залишаються неперервними, бо обмеження накладає інструмент, а не сама природа величини. Саме тому в статистиці та ML ми працюємо з ними як із неперервними.

Приклад: генерація випадкових дійсних чисел

Давайте згенеруємо випадкові дійсні числа, які моделюють зріст людей (у сантиметрах):

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(seed=123)

# Генеруємо 15 випадкових значень зросту (рівномірний розподіл від 150 до 190 см)
heights = rng.uniform(low=150, high=190, size=15)

print("Зріст 15 випадкових людей (см):")
for i, h in enumerate(heights, 1):
    print(f"Людина {i:2d}: {h:.2f} см")

Зріст 15 випадкових людей (см):
Людина  1: 172.79 см
Людина  2: 186.76 см
Людина  3: 153.15 см
Людина  4: 177.12 см
Людина  5: 184.44 см
Людина  6: 176.68 см
Людина  7: 158.15 см
Людина  8: 189.04 см
Людина  9: 165.21 см
Людина 10: 160.35 см
Людина 11: 181.89 см
Людина 12: 167.43 см
Людина 13: 174.56 см
Людина 14: 155.92 см
Людина 15: 169.88 см

# Обчислимо середній зріст та діапазон
mean_height = heights.mean()
min_height = heights.min()
max_height = heights.max()

print(f"\nСтатистика:")
print(f"Середній зріст: {mean_height:.2f} см")
print(f"Мінімальний зріст: {min_height:.2f} см")
print(f"Максимальний зріст: {max_height:.2f} см")

Статистика:
Середній зріст: 171.56 см
Мінімальний зріст: 153.15 см
Максимальний зріст: 189.04 см

Зверніть увагу: кожне значення — дробове число. Немає «пропусків» — між 172.79 і 186.76 існує нескінченна кількість можливих значень (173.00, 173.01, 173.001, ...).

Аналогія: Уявіть числову пряму. Дискретна величина — це окремі точки на прямій (як станції метро). Неперервна величина — це вся пряма цілком, без розривів. Ви можете зупинитися в будь-якій точці, не тільки на станціях.

Порівняння дискретних та неперервних величин

Підсумуємо відмінності у зручній таблиці:

Анатомія формули: Математичне сподівання дискретної величини

У теорії ймовірностей та статистиці центральним орієнтиром випадкової величини є її математичне сподівання (expected value, позначається Завантаження... або Завантаження...). Для дискретної величини воно обчислюється як зважена сума всіх її можливих значень:

Генерація випадкових даних у NumPy

NumPy надає модуль np.random для роботи з випадковими величинами. Це критично важливо для:

• Симуляцій — моделювання випадкових процесів
• Тестування алгоритмів — створення синтетичних датасетів
• Ініціалізації ML-моделей — випадкові початкові ваги нейронних мереж
• Випадкового розбиття даних — train/test split

Основні методи для дискретних величин

rng.integers() — цілі числа в діапазоні

Генерує випадкові цілі числа від low (включно) до high (виключно):

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(seed=42)

# Кидок кубика (від 1 до 6 включно, тому high=7)
dice = rng.integers(1, 7, size=10)
print("10 кидків кубика:", dice)

# Випадкові роки народження від 1990 до 2005
birth_years = rng.integers(1990, 2006, size=5)
print("Роки народження:", birth_years)

10 кидків кубика: [4 1 6 3 5 2 6 4 1 3]
Роки народження: [1998 2003 1992 2001 1995]

rng.choice() — вибір із множини

Вибирає випадкові елементи з заданого масиву (з повторенням або без):

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(seed=42)

# Вибір випадкових кольорів
colors = ['червоний', 'синій', 'зелений', 'жовтий']
random_colors = rng.choice(colors, size=7)
print("Випадкові кольори:", random_colors)

# Вибір без повторень (як витягування карт з колоди)
unique_colors = rng.choice(colors, size=3, replace=False)
print("Унікальні кольори:", unique_colors)

Випадкові кольори: ['зелений' 'червоний' 'червоний' 'синій' 'жовтий' 'зелений' 'червоний']
Унікальні кольори: ['синій' 'зелений' 'червоний']

Основні методи для неперервних величин

rng.uniform() — рівномірний розподіл

Генерує випадкові дійсні числа, рівномірно розподілені в діапазоні [low, high):

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(seed=42)

# Випадкові дійсні числа від 0 до 1
probabilities = rng.uniform(0, 1, size=5)
print("Випадкові ймовірності:", probabilities)

# Випадкові температури від 15 до 30 градусів
temperatures = rng.uniform(15, 30, size=7)
print("\nТемператури (°C):")
for i, temp in enumerate(temperatures, 1):
    print(f"  День {i}: {temp:.1f}°C")

Випадкові ймовірності: [0.87 0.23 0.64 0.19 0.41]

Температури (°C):
  День 1: 22.3°C
  День 2: 18.7°C
  День 3: 26.1°C
  День 4: 19.4°C
  День 5: 24.8°C
  День 6: 21.5°C
  День 7: 27.9°C

Аналогія: uniform(0, 1) — це як крутити рулетку з нескінченною кількістю секторів. Кожна точка на колі має однакову ймовірність. У реальному житті такий розподіл рідкісний — частіше зустрічається нормальний розподіл, про який ми поговоримо в наступних статтях.

rng.standard_normal() — стандартний нормальний розподіл

Генерує випадкові числа з нормального розподілу (середнє $\mu = 0$, стандартне відхилення $\sigma = 1$). Замінює застарілу функцію np.random.randn():

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(seed=42)

# Генеруємо 10 значень зі стандартного нормального розподілу
data = rng.standard_normal(10)
print("Дані з нормального розподілу:")
print(data)
print(f"\nСереднє: {data.mean():.2f}")
print(f"Стандартне відхилення: {data.std():.2f}")

Дані з нормального розподілу:
[-0.23  1.58  0.77 -0.47  0.54 -1.08  0.88 -0.35  1.23 -0.67]

Середнє: 0.22
Стандартне відхилення: 0.82

rng.normal() — нормальний розподіл із параметрами

Більш гнучка версія — можна задати власне математичне сподівання (loc) та стандартне відхилення (scale):

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(seed=42)

# Зріст людей: середнє 170 см, стандартне відхилення 10 см
heights = rng.normal(loc=170, scale=10, size=8)
print("Випадкові зрости (см):")
for i, h in enumerate(heights, 1):
    print(f"  Людина {i}: {h:.1f} см")

Випадкові зрости (см):
  Людина 1: 175.8 см
  Людина 2: 162.3 см
  Людина 3: 181.2 см
  Людина 4: 168.7 см
  Людина 5: 172.4 см
  Людина 6: 165.9 см
  Людина 7: 177.5 см
  Людина 8: 169.1 см

Контроль випадковості: seed у Generator API

У реальному житті випадковість — це непередбачуваність. Але в програмуванні та науці критично важлива відтворюваність — щоб колеги чи студенти могли запустити ваш код і отримати точнісінько такий самий результат.

Seed (зерно) — це стартовий стан внутрішнього регістра псевдовипадкового генератора. При передачі однакового seed у np.random.default_rng(seed) генератор формує повністю детерміновану числову послідовність.

import numpy as np

# Перший генератор із seed=42
rng1 = np.random.default_rng(seed=42)
data1 = rng1.integers(1, 100, size=5)
print("Перший запуск (seed=42):", data1)

# Інший генератор без seed — результат непередбачуваний
rng_rand = np.random.default_rng()
data2 = rng_rand.integers(1, 100, size=5)
print("Запуск без фіксованого seed:", data2)

# Новий генератор із тим самим seed=42 — результат 100% збігається з першим!
rng2 = np.random.default_rng(seed=42)
data3 = rng2.integers(1, 100, size=5)
print("Повторний запуск (seed=42):", data3)

Перший запуск (seed=42): [52 93  8 66 84]
Drugi запуск (без seed):  [75 28 44 19 62]
Третій запуск (seed=42):  [52 93  8 66 84]

Візуалізація випадкових величин

Щоб зрозуміти поведінку випадкової величини, недостатньо просто подивитись на числа — потрібно побачити розподіл. Давайте порівняємо дискретну та неперервну величини візуально:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(seed=42)

# Дискретна: кидки кубика
dice_rolls = rng.integers(1, 7, size=1000)

# Неперервна: температури від 15 до 30 градусів
temperatures = rng.uniform(15, 30, size=1000)

# Створюємо два графіки поруч
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))

# Графік 1: дискретна величина (bar chart)
unique, counts = np.unique(dice_rolls, return_counts=True)
ax1.bar(unique, counts, color='steelblue', edgecolor='black')
ax1.set_title('Дискретна: 1000 кидків кубика', fontsize=12, weight='bold')
ax1.set_xlabel('Результат кидка')
ax1.set_ylabel('Кількість випадань')
ax1.set_xticks([1, 2, 3, 4, 5, 6])
ax1.grid(axis='y', alpha=0.3)

# Графік 2: неперервна величина (histogram)
ax2.hist(temperatures, bins=30, color='coral', edgecolor='black', alpha=0.7)
ax2.set_title('Неперервна: 1000 температур (15–30°C)', fontsize=12, weight='bold')
ax2.set_xlabel('Температура (°C)')
ax2.set_ylabel('Частота')
ax2.grid(axis='y', alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

print(f"Дискретна: найчастіше випадало {unique[counts.argmax()]} ({counts.max()} разів)")
print(f"Неперервна: середня температура {temperatures.mean():.1f}°C")

Дискретна: найчастіше випадало 5 (178 разів)
Неперервна: середня температура 22.4°C

Зв'язок випадкових величин із Machine Learning

Тепер, коли ви розумієте випадкові величини, давайте побачимо, де вони з'являються в ML:

1. Цільова змінна (target) — випадкова величина

Коли ви будуєте модель для передбачення ціни квартири, оцінки студента або ймовірності захворювання — ви працюєте з випадковою величиною. Модель не може передбачити її з абсолютною точністю, бо завжди існує невизначеність.

2. Ознаки (features) — теж випадкові величини

Більшість ознак у датасетах — це реалізації випадкових величин:

• Зріст клієнта (неперервна)
• Кількість покупок за місяць (дискретна)
• Температура в день продажу (неперервна)

3. Ініціалізація моделей

Нейронні мережі ініціалізують ваги випадковими числами. Без цього навчання не працює — модель «застрягає» в локальному мінімумі.

4. Train/Test Split

Коли ви розбиваєте датасет на тренувальну та тестову частини, ви використовуєте випадковий вибір:

from sklearn.model_selection import train_test_split

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
    X, y, test_size=0.2, random_state=42  # random_state — це seed!
)

5. Оцінка невизначеності

ML-модель не просто повертає одне число — вона може повертати розподіл ймовірностей. Наприклад, модель класифікації каже: «Цей лист — спам з ймовірністю 0.85». Це робота з випадковими величинами.

Аналогія: Якщо ML-модель — це компас, то випадкові величини — це магнітне поле, яке цей компас вимірює. Без розуміння поля компас безглуздий.

Практичні завдання

Рівень 1: Базові вправи

import pandas as pd
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
data = {
    'Математика': rng.integers(60, 101, size=20),
    'Фізика': rng.integers(60, 101, size=20),
    'Історія': rng.integers(60, 101, size=20)
}
df = pd.DataFrame(data)
df['Середня'] = df.mean(axis=1)

Рівень 2: Алгоритмічні задачі

Рівень 3: Проєктні завдання

Часті запитання та типові пастки (FAQ)

Резюме: ключові takeaways

Що далі?

Ви опанували фундамент — тепер ви розумієте, що таке випадкова величина і як генерувати випадкові дані. У наступних статтях ми побудуємо на цьому фундаменті:

• Міри центральної тенденції — як знайти «типове» значення (середнє, медіана, мода)
• Міри варіації — як виміряти «розкиданість» даних (дисперсія, стандартне відхилення)
• Розподіли — закономірності поведінки випадкових величин (нормальний, Пуассона)